[技術ブログ] コンピュータビジョンにおける同次座標(Homogeneous Coordinate)

同次座標の紹介

同次座標（Homogeneous Coordinate）は、射影幾何学で使用される従来のデカルト座標の拡張です。これにより、平行移動、回転、拡大縮小などの幾何学的変換を統一されたフレームワークで表現および操作できます。同次座標を使用することで、これらの変換の数学的表現が簡略化され、計算がより効率的かつ簡単になります。

同次座標とは？

2D空間において、デカルト座標の点 (x, y) は、同次座標では (x, y, w) として表されます。ここで w はゼロでないスカラーです。簡便のために、通常 w = 1 と設定し、点 (x, y) は (x, y, 1) となります。この表現は3D空間にも拡張され、点 (x, y, z) は (x, y, z, w) となります。

同次座標を使う理由

1. 統一された変換表現：同次座標を使用すると、平行移動、回転、および拡大縮小を行列の積として表現できます。この統一により、複雑な変換の実装が簡略化されます。
2. 射影幾何学：同次座標は無限遠の点を表現でき、射影変換やコンピュータグラフィックスにおいて有用です。
3. 計算の利便性：デカルト座標では線形でない操作（例：平行移動）が、同次座標では線形になります。これにより、行列代数を用いた計算がより効率的になります。

同次変換行列

平行移動

点 (x, y) を (t_x, t_y) だけ平行移動するための同次座標行列は次の通りです：

(1   0   tx)
(0   1   ty)
(0   0   1 )

この行列を同次座標の点 (x, y, 1) に掛けると、新しい点 (x + t_x, y + t_y, 1)が得られます。

回転

点 (x, y) を原点を中心に角度 θ だけ回転させるための回転行列は次の通りです：

(cos θ   - sin θ   0)
(sin θ   cos θ     0)
(0       0         1)

この行列を点 (x, y, 1)に掛けると、点 (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ, 1) が得られます。

拡大縮小

点 (x, y) を x方向に s_x、y方向に s_y で拡大縮小するための行列は次の通りです：

(sx   0    0)
(0    sy   0)
(0    0    1)

この行列を (x, y, 1) に掛けると、拡大縮小された点 (s_x x, s_y y, 1) が得られます。

結論

同次座標は、コンピュータビジョンやグラフィックスの分野で重要な役割を果たし、幾何学的変換を扱う強力なツールです。点と変換を統一された行列形式で表現することで、画像や形状の操作と変換のプロセスが簡略化されます。この数学的な優雅さと計算の利便性により、同次座標はコンピュータビジョンの分野で不可欠な概念となっています。